Démarche générale et étapes d’enseignement

Démarche d’enseignement

La démarche que nous proposons est structurée autour d’une situation de référence (Cf. Guy Brousseau). Les enfants alternent entre, d’une part, la découverte de nouvelles procédures au fur et à mesure des étapes de la situation de référence et, d’autre part, l’entraînement à la mise en œuvre de ces procédures lors des activités spécifiques (mise en œuvre de la procédure dans un autre contexte que la situation de référence) et des activités ritualisées (pour les procédures que l’on souhaite automatiser). La situation de référence et les activités associées se déroulent sur plusieurs mois.

Le nombre est ensuite utilisé pour résoudre des problèmes.

Le document ci-dessous résume les éléments de cette démarche :

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Les étapes de la situation de référence

De la PS à la GS, les élèves vont chaque année vivre les mêmes étapes. L’augmentation progressive du champ numérique modifiera la difficulté de ces étapes. On peut noter qu’en PS, les enfants ne seront pas confrontés aux obstacles visant le recours à l’écriture chiffrée : on vise en PS le recours au mot-nombre (représentation verbale du nombre).

Le document ci-dessous présente ces différentes étapes :

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On distingue deux parties à ces étapes d’enseignement :

Partie 1 : Etapes 1 à 3ter : dénombrer une collection-modèle pour réaliser une collection-cible équipotente.

Ces étapes amènent les enfants à devoir communiquer la quantité d’une collection (à l’oral en PS puis avec de l’écrit). Elles leur montrent ainsi que le nombre est un outil fiable et peu coûteux pour connaitre la quantité.

Comment vise-t-on à ce que les élèves accèdent au nombre dans cette situation ?

L’outil essentiellement visé est la suite numérique orale, associé à la bande numérique comme outil pour la communication avec l’écriture chiffrée (en GS notamment). Cependant, pour les petites quantités, en PS, les élèves peuvent reconnaître la quantité d’une collection directement, par subitizing (jusqu’à 3). Pour dire cette quantité, ils doivent « seulement » connaitre le mot, de la même façon que pour nommer la couleur d’une collection « bleue ». La suite numérique n’est pas forcément utile. C’est en MS que le champ numérique devient suffisamment grand pour que la suite numérique devienne un outil d’accès au nombre pertinent, efficace et fiable. En GS, le champ numérique augmente encore pour que les élèves voient aussi dans la bande numérique (et surtout l’écriture chiffrée) un outil pertinent, efficace et fiable.

On est dans ce cas dans une procédure de comptage-numérotage (= le dernier mot énoncé représente le cardinal de la collection) : l’élève dénombre en comptant. Mais ce n’est pas parce qu’un élève parvient à réaliser une collection-cible de 9 objets, par exemple, qu’il a  construit le nombre 9, il n’en a pas forcément de représentation. Cette procédure de comptage-numérotage montre par contre la puissance de la suite orale des nombres. Mais, comme l’a souligné Rémy Brissiaud, la situation fonctionnerait aussi en utilisant une autre suite ordonnée, l’alphabet par exemple. On va donc se centrer dans la seconde partie sur l’intérêt essentiel des nombres qui réside dans leurs relations : les nombres peuvent être inclus les uns dans les autres, ce n’est pas le cas des lettres de l’alphabet, ce qui permet de résoudre des problèmes, d’anticiper des résultats par le calcul.

Partie 2 : A partir de l’étape 4 : décomposer la quantité d’une collection-modèle et la recomposer pour réaliser une collection cible équipotente.

Ces étapes amènent les enfants à devoir décomposer et recomposer des quantités grâce au nombre : un nombre peut se décomposer en plusieurs nombres et plusieurs nombres peuvent se recomposer en un seul. Cette notion de groupement est au cœur du système de numération que les élèves découvriront en CP avec le groupement par 10, la dizaine.

On va donc construire chez les élèves de cycle 1 une représentation mentale des nombres de 1 à 10 en s’appuyant sur leurs relations : 5 ce n’est pas que « 1, 2, 3, 4, 5 » ou « 1, 1, 1, 1 et 1 » c’est aussi « 4 et encore 1 », et « 3 et encore 2 »…

Comment vise-t-on à ce que les élèves accèdent au nombre dans cette situation ?

Les élèves vont réaliser des groupements. On peut outiller les élèves à dénombrer ces groupes sans compter pour souligner la décomposition :

  • La collection est déplaçable, ils peuvent donc grouper la collection réelle. En organisant les unités en deux constellations connues, ils peuvent accéder au nombre sans dénombrer.
  • Ils peuvent aussi reproduire la collection sur leurs doigts pour réaliser les groupements sur leurs doigts et les identifier sans compter.
  • Ils peuvent utiliser un fait numérique connu, le cas échéant. Il dénombre la collection totale, par exemple 6, et décompose en 3 et 3 sans manipuler.

Description synthétique des étapes

Cliquer sur les tableaux ci-dessous pour télécharger ces deux pages en PDF.

Une progression spiralaire sur le cycle