Les élèves sont amenés à utiliser la suite orale des mots-nombres pour dénombrer des collections. Cette procédure de comptage peut amener l’élève à se représenter le nombre uniquement comme un numéro : pour l’enfant, le nombre ne représente pas alors la collection mais un élément de cette collection. Il ne comprend pas la cardinalité.
Le comptage-dénombrement pour illustrer la cardinalité
La procédure de comptage-numérotage peut augmenter le risque d’une représentation du nombre réduite au numéro. L’utilisation exclusive de la procédure de comptage-dénombrement par l’adulte permet de réduire ce risque. La vidéo suivante explicite ces deux procédures.
Cette vidéo a été réalisée par Mme Catherine Taveau, professeur INSPE.
Lien direct :
https://ent2d.ac-bordeaux.fr/mediacad/m/24025/d/m/e/mp4
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Des outils pour renforcer l’aspect cardinal du nombre
Afin de favoriser la représentation du nombre comme cardinal d’une collection, on peut montrer aux élèves des procédures de dénombrement sans recours au comptage et les encourager à les utiliser. Ces procédures s’appuient sur des outils traditionnels de la classe. Nous les présentons ci-dessous.
Les constellations
Organiser spatialement la collection comme la constellation de son cardinal :
On peut trouver le cardinal de la collection de marrons ci-contre sans comptage-numérotage : en organisant la collection comme la constellation du 4.
Lors des activités sur le nombre, on pourra donc vérifier la proposition de réponse « 4 » avec le matériel non pas en comptant mais en organisant la collection : l’enfant ou l’enseignant valide ou invalide la proposition « 4 » en organisant les unités.
Ainsi, lorsqu’on demande à l’élève : « Comment sais-tu qu’il y 4 marrons ? Comment peux-tu vérifier qu’il y a 4 marrons ? Comment peux-tu prouver qu’il y a 4 marrons ? » on peut prendre l’habitude de vérifier avec la forme de la constellation : on évite ainsi les erreurs d’énumération et on se rapproche d’une représentation symbolique (l’enfant voit 4, il ne compte pas, comme on ne compte pas avec l’écriture chiffrée). Cette utilisation des constellations peut aussi être un outil d’élève pour chercher le cardinal d’une collection.
De la même façon, en situation de résolution de problème, l’enseignant pourra « montrer » les quantités en les organisant. Il les nomme puis ce sont les élèves qui les nomment en les identifiant, sans recompter :
Jusqu’à 6, les constellations de référence sont celles du dé.
A partir de 6, il faut s’accorder sur une représentation de référence pour chaque nombre (comme avec l’écriture chiffrée) : on présente ici avec les décompositions à partir de 5 :
Un affichage peut montrer ces constellations de référence et leurs correspondance « doigts » puis « chiffres ».
On peut ainsi prouver qu’il y a, par exemple, 8 poules sans compter.
Les cartes ci-dessus, recto-verso, peuvent être un outil utilisé :
- Par l’élève pour proposer une réponse avec la représentation demandée. (Par exemple pour proposer une réponse au jeu greli-grelo)
- Par l’enseignant ou l’élève pour coder des quantités non accessibles (jetons dans la boite per exemple).
Un exemple pour recomposer le nombre d’absents en PS
Imaginons une classe de PS avec 4 absents. Leurs étiquettes sont affichées au tableau :
Puis, on va dénombrer filles et garçons en organisant la collection en déplaçant les étiquettes pour obtenir les constellations (il y avait 3 filles et un garçon) :
On recompose ensuite la quantité totale d’absents en organisant la collection :
Des longueurs pour représenter le cardinal
Des bandes vont être associées à un cardinal selon leur longueur. Le cardinal est codé sur la bande : le recto peut être codé avec les représentations analogiques de référence, le verso avec l’écriture chiffrée.
Il n’est pas utile de compter jusqu’à 7 pour voir, pour savoir, que 4 poules et 3 poules c’est 7 poules.
Comme les constellations, cet outil peut permettre de valider une proposition. Il peut aussi être proposé comme outil pour chercher un cardinal.
C’est également un outil qui peut être utilisé pour dénombrer les élèves présents et absents (cf. Centre Alain Savary : http://centre-alain-savary.ens-lyon.fr/CAS/mathematiques-en-education-prioritaire/premieres-annees-de-mathernelle-1/situations-de-classe-et-entretien/lappel-emilie-et-elisabeth).
Les affichages des décompositions :
Lorsque les élèves ont construit ce type d’affichage référent suite à des séances de manipulation (par exemple « Poules et pondoirs » en MS), ils peuvent justifier en se référant à cette affiche un dénombrement par décomposition / recomposition : Je « vois » 3 objets et encore 2 objets alors il y a 5 objets. Je le sais car on voit que 2 et 3 c’est 5 sur l’affiche, ici (l’élève montre).