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Un constat : le tableau de conversion, un outil pratique mais éloigné de la grandeur
Comme le tableau de numération, le tableau des unités de mesure est un outil pratique pour convertir mais il ne montre pas explicitement les rapports entre les unités. Par exemple, pour convertir 500 cL en L :
- Avec le tableau : j’écris 0 dans la colonne des centilitres, 0 dans celle de gauche et 5 encore à gauche. Je lis 5 dans la colonne des litres.
- Sans le tableau : 100 cL = 1L donc 500 cL = 5 x 100 cL = 5 L
Utiliser le tableau des unités de mesures pour convertir : le décalage possible entre la tâche demandée et l’activité de l’élève peut nuire à l’apprentissage visé
La tâche demandée est de convertir une mesure dans une autre unité. On vise à ce que l’élève comprenne et utilise les relations entre les différentes unités de mesure d’une grandeur pour établir une égalité (entre différentes représentations mathématiques d’une mesure).
Le tableau est une aide pour attribuer une valeur à chacun des chiffres, selon sa position, d’une mesure donnée. Ainsi, si l’élève écrit 314 cm dans le tableau pour convertir en m et cm, il peut lire qu’il y a 3 m, 1 dm et 4 cm, donc 3m et 14cm.
Mais on peut craindre que l’activité de l’élève se réduise à « remplir et lire le tableau » : mettre des chiffres au bon endroit et lire ce tableau de données. Son activité mentale peut être centrée uniquement sur la gestion de colonnes et non sur une représentation de la grandeur mesurée. Un peu comme avec l’algorithme de l’addition posée, par exemple, où l’élève peut gérer des colonnes de chiffres et non des nombres.
Cela peut avoir un impact sur sa prise en compte des erreurs, et donc sur sa capacité à progresser.
Imaginons qu’un élève écrive 314 cm dans le tableau en commençant avec le « 3 » dans les cm. Voyant qu’il n’y a plus que la colonne des millimètres pour écrire « 14 », il respecte la règle « 1 chiffre par colonne » et il décale le « 3 » dans la colonne des décimètres. Lors de la correction, il peut conclure qu’il s’est trompé « seulement » d’une colonne, et non pas que sa mesure était 10 fois plus petite. Il peut retenir que pour progresser, il faut qu’il fasse plus attention aux colonnes, et non qu’il fasse plus attention à la valeur des unités. L’élève peut ainsi se représenter ce tableau plus comme un objectif d’apprentissage que comme un outil d’apprentissage.
Tout sur la mesure : une activité pour explorer et s’approprier l’outil tableau
Principe de l’activité :
Les « zéros de position » ne sont pas écrits dans le tableau car ils n’ont pas d’utilité : la valeur positionnelle des chiffres est donnée par l’intitulé des colonnes.
Ainsi, pour cette activité, on propose une mesure dans le tableau, par exemple celle de l’illustration.
Les élèves doivent « sortir la mesure du tableau » d’un maximum de façons possibles.
Par exemple ici : 1 L et 8 cL = 108 cL = 10 dL et 8 cL = 1080 mL.
Les élèves s’habituent ainsi à envisager une même mesure sous différentes formes écrites.
Intérêts possibles de cette activité :
S’approprier le fonctionnement du tableau
Avant que ce tableau ne soit un outil pour l’élève, cette activité permet de faire de son utilisation un objectif d’apprentissage.
En effet, en demandant aux élèves de proposer un maximum d’égalités de mesures à partir d’une mesure inscrite dans le tableau, l’enjeu est différent des activités où ils doivent trouver une égalité en particulier. La contrainte est moindre, ils explorent le tableau qui devient un outil à « fabriquer des égalités de mesure« . Cette activité permet d’entraîner l’utilisation de cet outil car on va disposer d’un grand nombre de représentations pour une même mesure, alors que dans une situation de conversion plus classique, on cherche généralement LA représentation d’une mesure demandée, nécessaire. On questionne donc ici plusieurs possibles et non pas un seul.
L’élève s’approprie le tableau grâce à :
- La mesure dans le tableau: En n’écrivant aucun zéro, on valorise ainsi l’intérêt du tableau qui est d’indiquer la valeur positionnelle (l’unité de mesure) de chaque chiffre dans l’intitulé des colonnes.
- La mesure hors du tableau: pour pouvoir écrire la mesure sans le tableau, il faut d’abord décider de l’unité ou des unités choisies, et ensuite, on utilise le 0 pour indiquer une « case vide », pour indiquer qu’on passe à l’unité 10 fois plus grande/petite. Le tableau aide à choisir l’unité ou les unités pour exprimer la mesure et à donner la position des 0 si besoin.
Une activité support de verbalisations
Pour valider, conserver un lien avec la grandeur et avec les relations entre les unités mais….
Si cette activité est fortement centrée sur la mesure plus que sur la grandeur, on pourra contextualiser les propositions d’égalités de mesures des élèves (notamment pour les valider) faisant référence à des étalons connus : par exemple pour l’erreur 1m et 8 cm = 18 cm, on illustrera avec la règle de 1 m et le double-décimètre. On fera référence aussi aux relations entre ces étalons, entre ces unités : 1 m = 100 cm donc 1 m et 8 cm ne peut pas être inférieur à 100 cm (pour invalider 18 cm).
…valider aussi en référence à la procédure utilisée pour « sortir la mesure du tableau »
Chaque chiffre a-t-il la bonne position ? Si on réécrit 18 cm dans le tableau, il n’y a pas égalité avec 1 m et 8 cm.
« Tout sur la mesure » devient ainsi une activité qui permet par la verbalisation de :
- passer d’une explication centrée sur les repères du tableau à une explication de relations entre les unités
- distinguer chiffre de … (valeur d’une case) et nombre de … : convertir la mesure 453 mm en cm, c’est chercher combien d’étalons « centimètres » il faut pour réaliser cette longueur, c’est chercher le nombre de cm dans 453 mm.
Apprendre à ne plus utiliser le tableau / Savoir qu’on sait convertir sans tableau
L’objectif étant d’avoir une représentation mentale du tableau, de ne plus en avoir besoin, on pourra proposer « Tout sur la mesure » en effaçant progressivement certaines unités, jusqu’à ne plus avoir que l’unité du système international qui permet d’indiquer la grandeur concernée (mètre pour les longueurs, litre pour les contenances ; pour les masses, l’unité SI est le Kg mais on indiquera plutôt le gramme à l’école).
Si on choisit de proposer cette activité de manière brève et fréquente, cela pourra favoriser la mémorisation des positions relatives des unités par les élèves.
Prolongement de l’activité : mieux comprendre la représentation en tableau en la bousculant
Proposer l’activité « Tout sur la mesure » en utilisant les durées permet de réinterroger certaines représentations en s’éloignant du tableau de numération.
|
jour |
heure |
minute |
seconde |
|
0 |
2 |
0 |
43 |
Trouver un maximum de mesures possibles « hors du tableau » devient beaucoup plus complexe !
Le rapport 10 : et si on ne dispose plus de ce rapport régulier entre les unités ?
On voit bien ici qu’il ne s’agit plus de gérer des colonnes. La nécessité du choix de l’unité (ou des unités) pour exprimer la mesure « sans le tableau » est particulièrement mise en valeur. Et on est obligé de connaître les rapports entre les unités.
On voit bien aussi qu’il n’est pas utile d’écrire « 0 » dans les cases vides, cela n’apporte pas d’information supplémentaire puisqu’il n’y a pas de correspondance avec la numération.
« 1 chiffre maximum par colonne ? »
Ce tableau des durées permet aussi de mieux comprendre la règle « 1 chiffre pas colonne, par case » en la réinterrogeant.
Avec les nombres (unité/dizaine…), les mètres, les grammes, les litres, on écrit au maximum 9 dans une colonne puisqu’à partir de 10, on écrit 1 dans la colonne de gauche. On écrit donc bien un seul chiffre. Mais, avec les secondes, on écrit 59 au maximum puisque c’est à partir de 60 qu’on écrit 1 dans la colonne de gauche. Idem avec les minutes, 23 au maximum pour les heures etc…
Ce n’est donc pas tant « 1 seul chiffre par case maximum » que l’on doit écrire mais « la valeur maximale d’une unité avant de pouvoir réaliser une unité supérieure ».
Chiffre des / nombre de ?
Dans le tableau des durées, la question « Quelle est le chiffre des minutes ? » n’est plus correcte puisque les minutes peuvent atteindre 59. On cherche en fait la valeur de la position « minute » dans le tableau (qui s’écrit effectivement avec un seul chiffre pour toutes les mesures codées en base 10).
La question « Quel est le nombre de minutes ? » entraîne une réponse plus complexe car le rapport entre les unités n’est plus égal à 10. Une dizaine de secondes, ce n’est pas un minute, alors qu’une dizaine de mm c’est un cm.
Vers les aires et les volumes
Se représenter le tableau comme un outil qui facilite l’attribution d’une valeur à une position et non d’un chiffre à une case sera utile pour les aires : la valeur de chaque unité peut atteindre 99, à 100 on passe à 1 de l’unité suivante qui est donc 100 fois plus grande.
Et de la même façon avec les volumes (rapport de 1000).